inštrukcije > matematika > Kompleksna števila

Objavljeno: 22.2.2019

Kompleksna števila

Množica kompleksnih števil predstavlja razširitev realnih števil, v kateri lahko korenimo tudi negativna števila. Kompleksna števila vsebujejo imaginarno enoto i (v elektrotehniki zasledimo tudi oznako j), kjer je $i^2 = -1$
Kompleksna števila so oblike $a + ib$, kjer je a realni del kompleksnega števila, b pa imaginarni.

Kompleksno število si lahko predstavljamo tudi v kompleksni ravnini.

x-os predstavlja realni del kompleksnega števila, y-os pa imaginarni.

Pravila za računanje s kompleksnimi števili

$i^2 = -1$

$i^3 = i^2\cdot i = -1 \cdot i = -i$

$i^4 = i^2 \cdot i^2 = -1 \cdot -1 = 1$

Višji stopnjo (npr $i^{501}$) lahko izračunamo tako, da eksponent delimo s 4 in dobimo ostanek. Rešitev je tako $i^{ostanek}$ iz zgornje tabele. $i^{501}$ je tako enak $i^1 = i$

$(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$

$(a+bi) * (c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Elementarne operacije

$z = x + iy$

$\bar{z} = x - iy$

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Polarna oblika

Kompleksno število lahko zapišemo tudi v polarni obliki:

$z = r \cdot e^{i \varphi}$

Kjer $r$ predstavlja $|z|$, torej grafično oddaljenost kompleksnega števila od izhodišča a=0, b=0; in kjer $\varphi$ predstavlja kot med realno osjo in premico, ki povezuje izhodišče s kompleksnim številom.

$\varphi = arctan(\frac{Im(z)}{Re(z)})$

Primer

Izračunaj $\frac{i+2}{i+1}$ in rezultat zapiši v polarni obliki

Najprej racionaliziramo imenovalec, kar pomeni, da ulomek zgoraj in spodaj množimo s konjugirano kompleksnim številom, kar je $i-1$.

Dobimo:

$\frac{(i+2)(i-1)}{(i+1)(i-1)}$

Velja, da je $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$, kar upoštevamo v imenovalcu

$\frac{(i+2)(i-1)}{1 + 1} = \frac{-1 + 2i -i -2}{2} = \frac{3 + i}{2} = \frac{3}{2} + \frac{i}{2}$

Rezultat zapišimo še v polarni obliki.

Izračunamo $|z|$

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

$|z| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2})^2}$

$|z| = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$

Izračunajmo $\varphi$

$\varphi = arctan(\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{3}{2}}) = -18,43°$

Rezultat preverimo v kompkeksni ravnini in glede na rezultat prištejemo 180°. Pravi rezultat je torej $\varphi = 161,57°$.

161,57° pretvorimo v radiane in dobimo 2,82 (180° predstavlja $\pi$ radianov - uporabimo sklepni račun)

$z = r \cdot e^{i \varphi}$

$z = \sqrt{\frac{5}{2}} e^{i \cdot 2,82}$

Preberite še:

Potrebujete dodatne informacije? Pomagajo vam lahko inštruktorji matematike.