Odvod in tabela odvodov

Odvod predstavlja spremembo funkcije pri spremembi njenega argumenta. Opisuje najboljšo linearno aproksimacijo funkcije v bližini vrednosti funkcije z nekim argumentom.

Odvod lahko definiramo kot limito:
$f'(a) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ V praksi pa nam odvod v neki točki predstavlja smerni koeficient tangente na krivuljo.
odvod in tangenta
Če označimo funkcijo x-a z $f(x)$, potem njen odvod lahko označujemo kot $f'(x)$ ali $(f(x))'$.

Pravila za računanje z odvodi

Odvod vsote: $(f(x) + g(x))' = f'(x)+ g'(x)$

Odvod produkta: $(f(x) * g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

Odvod količnika: $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)}$

Odvod konstante je 0: $f'(C) = 0$

Odvod potenčne funkcije: $(x^n)' = n x^{n-1}$

Odvod eksponentne funkcije: $(e^x)' = e^x$

Odvod logaritemske funkcije: $(ln |x|)' = \frac{1}{x}$

Odvodi trigonometričnih funkcij:

Odvod sestavljene funkcije: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Odvodi elementarnih funkcij

Opis funkcije	Funkcija	Odvod
Konstanta	$C$	$0$
Linearna funkcija	$kx+ n$	$k$
Potenčna funkcija	$x^n$	$nx^{n-1}$
Koren	$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
Eksponentna funkcija	$e^x$	$e^x$
Eksponentna funkcija	$a^x$	$a^x \cdot ln(a)$
Naravni logaritem	$ln(x)$	$\frac{1}{x}$
Logaritemska funkcija	$log(x)$	$\frac{1}{x \cdot ln(a)}$

Primeri

Izračunajte odvode funkcij:

$x^3$

Uporabimo pravilo: $(x^n)' = n x^{n-1}$

$(x^3)' = 3 x^{3-1} = 3x^2$

$5x^4$

Konstantno ($5$) lahko izpostavimo izven odvoda in odvajamo samo $x^4$, podobno kot v prejšnji nalogi.

$(5x^4)' = 5(x^4)' = 5 \cdot 4 x^3 = 20 x^3$

Odvod produkta funkcij

Primer: odvajaj funkcijo $sin(x) \cdot ln(x)$

Uporabimo pravilo za odvajanje produkta: $(f(x) * g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

Posamezna odvoda izračunajmo posebej

$(sin(x))' = cos(x)$ (po tabeli trigonometričnih odvodov)

$(ln(x))' = \frac{1}{x}$

Vstavimo v enačbo in dobimo:

$cos(x) \cdot ln(x) + \frac{sin(x)}{x}$

Odvod kvocienta funkcij

Primer: odvajaj funkcijo $\frac{sin(x)}{x}$

Uporabimo pravilo za odvajanje kvocienta: $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)}$

Posamezne odvode lahko izračunamo posebej.

$(sin(x))' = cos(x)$ (po tabeli trigonometričnih odvodov)

$(x)' = 1$ (glede na pravilo $(x^n)' = n x^{n-1}$, kjer je n=1)

Dobimo:

$(\frac{sin(x)}{x})' = \frac{cos(x)\cdot x + sin(x)}{x^2}$

Odvod sestavljene funkcije

Primer: odvajaj funkcijo $ln(sin(x))$

Uporabimo pravilo za odvod sestavljene funkcije: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Po tabeli je odvod $ln(x)$ je $\frac{1}{x}$, odvod $sin(x)$ je $cos(x)$

Dobimo:

$\frac{1}{sin(x)} \cdot cos(x) = ctg(x)$